Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Hemos visto que una ecuación de segundo grado es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.
Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0.
Ecuación de segundo grado incompleta
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.
(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)
La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:
ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.
ax2 + bx = 0; si c = 0.
ax2 + c = 0; si b = 0.
Soluciones:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.Partiendo de una ecuación del tipo
x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48, Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 − 4 x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.
Ejemplos:
1) Resolver: − 5x2 + 13x + 6 = 0
a = − 5; b = 13; c = 6.
Probando con
, se tiene
mbas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y 
son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0
son las raíces de − 5x2 + 13x + 6 = 0
2.Resolver: 6x − x2 = 9
− x2 + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:
a = −1 ; b = 6 ; c = −9 ; y se aplica la fórmula:
El discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3.
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.
a = 1, b = −10 c = 21
Los números buscados son 7 y 3.
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