Meltdown15

DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO Y PROPIEDADES

La expresión que  denomina que a no es igual a b es:

a  ≠

b

Si tenemos la expresión a > b, que se lee como  "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva mientras que si tenemos la expresión  a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. Los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro.

   * Todo numero positivo es mayor a cero

74 > 0
porque 74 - 0 = 74

2       *Todo numero negativo es menor a cero

-21 < 0 ;
porque -21 -0 = -21

3       *Si dos números so negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto

-10 > -30;
porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Desigualdades absolutas y condicionales.

Absoluta: Aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella:                                     a²+ 3 > a

Condicional o inecuaciones: es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:                    2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.

                                         Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro, si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:                                                     a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:
                                     a + x = b + c + x

           Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente
                                                            a + x > b +x

2) Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "d", resulta:                                                      .                                                          ad = bd + cd.

Suprimiendo el término positivo "cd", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:                                               .                                                               ad > bd

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:                                    -an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto:     -an < -bn

4. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > r y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > r
d > c

---

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:     a - c > r –d

5. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < z, en la que "a" y "z" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "z", resulta:                                                    az < z²

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "z" por "a", la desigualdad se refuerza:                                             .                                                                       a² < z²

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:
                                                           a = b + c
                                                           a' = b' + c'
                                                          a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

                                        a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
                                                a + a' + a" > b + b' + b"

7. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.
Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b² se obtiene:      -ab² < -b³

En el primer miembro, reemplazando b² por a², la desigualdad se refuerza:                                                                                                           .                                                      -a³ < -b³

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido:          a² > b²