Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es cuando la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es:
ax2 + bx + c = 0 con a distinto de 0
Deducción para resolver la ecuación de la forma anterior
La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que :
ax2 + bx + c = 0 <--> x2 + b x + c = 0
a a
Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que
m = + b Y n = c
a a
la demostración queda:
Desde la ecuación
x2+ mx + n = 0
Transponiendo n
x2+ mx = -n
4
x2+ mx + m 2 = m 2 – n
4 4
Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado
(x +m )2 = m 2 – n
2 4
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros
X + m = ± √ m 2 - n
2 4
Transponiendo m y simplificando la fracción de la raíz
2
x = -m ± √ m 2 – 4n
2 4
Simplificando a común denominador
X = -m ± √ m2 – 4n
2
si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado
x= -b ± √ b ² - 4ac
2a
Ejemplo:
1.- x 2– 3 x + 2 = 0
ax2 +bx +c = 0
a = 1
b= -3
c= 2
x= -b ± √ b ² - 4ac
2ª
=-(-3) ± √(-3) 2 -4·1·2
2·1
= 3 ± √ 9 – 8
2
= 3 ± √1
2
= 3 ±1
2
= 3+1 = 2
2
= 3 -1 = 1
2
X1 = 2
X2 = 1
2.- x 2– x – 6 = 0
ax2 +bx +c = 0
a = 1
b = -1
c = -6
x= -b ± √ b ² - 4ac
2ª
= -(-1) ± √(-1) 2 - 4·1(-6)
2·1
= 1 ± √ 1 + 24
2
= 1 ± √ 25
2
= 1 ± 5
2
= 1 + 5 = 3
2
= 1 – 5 = - 2
2
X1 = 3
X2 = - 2
3.- x 2 - x = 0
ax2 +bx +c = 0
a = 1
b = - 1
c = 0
x= -b ± √ b ² - 4ac
2ª
= - (-1) ± √ (-1) 2 – 4· 1· 0
2·1
= 1 ± √ 1 – 0
2
= 1 ± √ 1
2
= 1 ± 1
2
= 1+1 = 1
2
= 1-1 = 0
2
X1 = 1
X2 = 0
Nota:
√ à raiz.
· à multiplicado, por.
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