Presentacion Powert Point

Resumen de binomio de Newton

BINOMIO DE NEWTON

Fórmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)n como una suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.

Se puede generalizar el binomio utilizando los llamados coeficientes combinatorios, representados habitualmente como y que se pueden recordar a partir de la siguiente pirámide visual, llamada triángulo de Tartaglia.

1

1     1

1     2     1

1     3     3     1

1     4     6     4     1

1     5     10    10    5     1

1      6     15    20    15    6     1

Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él.

Estos números son precisamente los que actúan como coeficientes en el desarrollo del binomio. Por ejemplo la secuencia 1 3 3 1 de la cuarta fila son precisamente los coeficiente del binomio de tercer grado. Se puede ver igualmente que en el binomio desarrollado, cada término siguiente aumenta la potencia de b y disminuye la de a, y que igualmente se van alternando los signos.

En general, el binomio de grado n-ésimo tendrá el siguiente desarrollo:

Por ejemplo y utilizando la pirámide anterior podemos deducir que el desarrollo del binomio de sexto grado será:

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplos:
(a+b)⁴ =
a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(n-m)⁵
n⁵-5n⁴m+10n³m²-10n²m³+5nm⁴-m⁵

(x-y)³
x³-3x²y+3xy²-y³

Resumen Descomponer en Factores un trinomio de Segundo Grado de la Forma x2 + px + q

La expresión general de la ecuación de segundo grado es: 

 

x2 + px + q

x2 - Es el termino cuadrático

px - es el termino lineal

q - Es el termino independiente

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto: 

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos 

del trinomio. 

2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica 

elevada al cuadrado. 

 Lo anterior queda expresado como 

a2 + 2ab + b2= (a+b)2

Para hallar las soluciones de la ecuación de segundo grado igualamos la 

expresión general a cero. 

Factorización de un binomio cuadrado perfecto

Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:

Raíz cuadrada del tercer término:

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:
Raíz cuadrada del tercer término:

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo:

Raíz cuadrada del sustraendo:

Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo:

Raíz cuadrada del sustraendo:

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)

Binomio de Newton

Binomio de newton

Resumen "Factorización de un cubo perfecto"

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término .El signo del segundo término  es más (+) si todos los signos de la expresión  y es menos (-) si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Ejemplos:

*a³+3a²+3a +1

Paso 1

Raíz Cúbica del primer y último término

a³=  a    1= 1

Paso 2

Los resultados se suman y se eleva al cubo.

(a+1)³ es el resultado de la factorización de a³+3a²+3a +1

*8 + 12a² +6a⁴+a⁶

Raíz Cúbica

8 =  2             a⁶ = a²

(2+a²)³=8 + 12a² +6a⁴+a⁶

*8a³-36a²b+54ab²-27b³

 Raíz Cúbica

8a³= 2a         27b³= 3b

(2a -3b)³= 8a³-36a²b+54ab²-27b³

Ejercicios del Binomio de Newton

(2x+3y)²

(5a+2b)³

(7x+14y)²

(9x+2y)¹⁰

(6a+13b)⁸

(a+15b)²

(9x+20y)¹¹

(20a+30b)⁵

(8x+24b)⁶

(4x+12b)⁴

(24x+8y)⁴

(18x+6y)²

(20x+18y)³

(19x+7y)⁵

(21x+2y)⁶