M.C.M de monomios y polinomios [Mathemagol]

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Así, el m. c. m. de  y  es ; el m. c. m. de  y  es .

La teoría del m. c. m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.

M.C. M. DE MONOMIOS

Regla:

Se halla el m. c. m. de los coeficientes y a continuación de éste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes, dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.

1) Hallar el m. c. m. de  

Tomamos a con su mayor exponente  y x con su mayor exponente  y tendremos:

m. c. m. = 

2) Hallar el m. c. m. de                                 

                                                                                                          

El m. c. m. de los coeficientes es . A continuación escribimos a con su mayor exponente , b con su mayor exponente  y c, luego:

m. c. m. =

3) Hallar el m. c. m. de                                            

  y                                  

                                                                                     

                                                                                      m. c. m. =

M. C. M. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Regla:

Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El m. c. m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

1) Hallar el m. c. m. de 6, 3x – 3.

Descomponiendo:                                                  6 = 2∙3

                                                                        3x – 3 = 3(x – 1)

                                                                 m. c. m. = 2∙3 (x -1) = 6(x -1)

2) Hallar el m. c. m.  de  

Descomponiendo:                                              

                                                                            

                                                                    m. c. m. =

3) Hallar el m. c. m. de

Como  está contenido en , prescindimos de

Descomponiendo:                                               

                                                                                    

                                                                     m. c. m. =

M. C. M. DE POLINOMIOS

La regla es la misma del caso anterior.

1) Hallar el m. c. m. de

Descomponiendo:

                                

                                               

                                                            m. c. m. =

2) Hallar el m. c. m. de

                                    

                                 )              

           

                             m. c. m. =

3) Hallar el m. c. m. de

                           

                              

                              

                            m. c. m. =

Ejercicios de Mínimo Común Múltiplo

1)     x3 - 9x + 5x2 - 45, x4 + 2x3 - 15x2.

2)     x2 + 2x , x3 - 2x2, x2 - 4.

3)     a2 - 2ab - 3b2, a3b - 6a2b2 + 9ab3, ab2 + b3.

4)     12mn + 8m - 3n - 2, 48m2n - 3n + 32m2 - 26n2 - 5n - 6.

5)     5.8n2 - 10n - 3, 20n2 + 13n + 2, 10n2 - 11n - 6.

6)     m3 - 27n3, m2 - 9n2, m2 - 6mn + 9n2, m2 + 3mn + 9n2

7)     5m - mq + 2mn - pq + ppn + 5p

8)     24x2y2 + 16xy3z + 32x3my4 - 64zx3y5

9)     z2 - 2zb - 3b2, z3b - 6z2b2 + 9zb3, zb2 + b7.

10) a3 - 9a + 5a2 - 45, a4 + 2a3 - 15a2.

11) 11.18pn + 8p - 3n - 2, 32p2n - 3n + 32p2 - 2, 6n2 - 8n - 6

12) 12. x25 + 23x, x3 - 8x2, x2 - 4.

13) 13. x3 - 9x + 5x2 - 45, x4 + 2x3 - 15x2.

14) 14. x⁵ - x³ - 3·x² + 3    y     x³ + 5·x² - x - 5

15) 15. X^3 + 6X^2 - 63X + 108

Mínimo Común Múltiplo

El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.

El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:

¿Qué es un "múltiplo"?

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1, 2, 3, 4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.

Aquí tienes ejemplos:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...

Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Para obtener el MCM de dos o más polinomios procedemos de la siguiente manera:

         Paso 1: Si es posible, factorizamos cada uno de los polinomios originales.

         Paso 2: para encontrar el MCM, escribimos el producto de los factores comunes y no comunes de todos los polinomios con su mayor exponente.

Operaciones con teorema de residuo y factor

Utilice el teorema del residuo para hallar el residuo que se obtiene al dividir el polinomio dado en cada uno de los problemas 1 a 12 entre el binomio que le sigue.

1. x3 – 3x2 + 4x – 5x– 2
2. x3 + 5x2 – 7x + 3x – 1
3. x3 + 3x + 5, x + 1
4. x3 – 2x2 – 3x – 38x + 3
5. 2x3– 7x2 + 5x + 3x– 1
6. 3x3 + 4x2 - 11x - 13x - 2
7. 2x4 + 3x3 + 7x2 + 6x + 2x + 1
8. 3x4– 8x3– 9x– 7x - 3
9. -2x4 - 3x3 + 4x2 + 17x + 7, x - 2
10. x5 + x4 + x3 + x2 + x + 22x - 2
11. 2x5– 7x4 - 5x3 + 9x2 – 24x + 17x -4
12. 32x5 - 16x4 + 8x3 - 4x2 + 2x - 1x– 1/2
13. 2x3 + 3x2 – 6x + 1 x– 1
14. 3x3 – 9x2– 4x + 12x– 3
15. 5x4 + 8x3 + x2 + 2x + 4x + 1

JC: Ejercicios de Descomposición en factores de una diferencia de cuadrados.

1.- a² - b²

2.- x² - 4

3.- x² - 1

4.- 9 - y²

5.- 1 – 4n²

6.- (a+b)² - x²

7.- (x+y)² - (z+w)²

8.- (x- 2y)² - (a+b)²

9.- (a+1)² - 4a²

10.- (2ª – 3)² - (a- 5)²

11.- (2ª+3)² - (5ª – 1)²

12.- (a-b)² - (z+w)²

13.- (x-1)² - (n – 2)²

14.- (2x-z)² - (a+b)²

15.- 4a² - 81b²

Presentacion Powert Point

Resumen de binomio de Newton

BINOMIO DE NEWTON

Fórmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)n como una suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.

Se puede generalizar el binomio utilizando los llamados coeficientes combinatorios, representados habitualmente como y que se pueden recordar a partir de la siguiente pirámide visual, llamada triángulo de Tartaglia.

1

1     1

1     2     1

1     3     3     1

1     4     6     4     1

1     5     10    10    5     1

1      6     15    20    15    6     1

Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él.

Estos números son precisamente los que actúan como coeficientes en el desarrollo del binomio. Por ejemplo la secuencia 1 3 3 1 de la cuarta fila son precisamente los coeficiente del binomio de tercer grado. Se puede ver igualmente que en el binomio desarrollado, cada término siguiente aumenta la potencia de b y disminuye la de a, y que igualmente se van alternando los signos.

En general, el binomio de grado n-ésimo tendrá el siguiente desarrollo:

Por ejemplo y utilizando la pirámide anterior podemos deducir que el desarrollo del binomio de sexto grado será:

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejemplos:
(a+b)⁴ =
a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(n-m)⁵
n⁵-5n⁴m+10n³m²-10n²m³+5nm⁴-m⁵

(x-y)³
x³-3x²y+3xy²-y³