Binomio de Newton [Mathemagol]

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b vanaumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1. 

2.

Cálculo del término que ocupa el lugar k

Ejemplos

1.El término quinto del desarrollo de   es:

2.El término cuarto del desarrollo de   es:

3.Hallar el término octavo del desarrollo de 

M.C.M de monomios y polinomios [Mathemagol]

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Así, el m. c. m. de  y  es ; el m. c. m. de  y  es .

La teoría del m. c. m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.

M.C. M. DE MONOMIOS

Regla:

Se halla el m. c. m. de los coeficientes y a continuación de éste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes, dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.

1) Hallar el m. c. m. de  

Tomamos a con su mayor exponente  y x con su mayor exponente  y tendremos:

m. c. m. = 

2) Hallar el m. c. m. de                                 

                                                                                                          

El m. c. m. de los coeficientes es . A continuación escribimos a con su mayor exponente , b con su mayor exponente  y c, luego:

m. c. m. =

3) Hallar el m. c. m. de                                            

  y                                  

                                                                                     

                                                                                      m. c. m. =

M. C. M. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

Regla:

Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El m. c. m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

1) Hallar el m. c. m. de 6, 3x – 3.

Descomponiendo:                                                  6 = 2∙3

                                                                        3x – 3 = 3(x – 1)

                                                                 m. c. m. = 2∙3 (x -1) = 6(x -1)

2) Hallar el m. c. m.  de  

Descomponiendo:                                              

                                                                            

                                                                    m. c. m. =

3) Hallar el m. c. m. de

Como  está contenido en , prescindimos de

Descomponiendo:                                               

                                                                                    

                                                                     m. c. m. =

M. C. M. DE POLINOMIOS

La regla es la misma del caso anterior.

1) Hallar el m. c. m. de

Descomponiendo:

                                

                                               

                                                            m. c. m. =

2) Hallar el m. c. m. de

                                    

                                 )              

           

                             m. c. m. =

3) Hallar el m. c. m. de

                           

                              

                              

                            m. c. m. =

Ejercicios de Mínimo Común Múltiplo

1)     x3 - 9x + 5x2 - 45, x4 + 2x3 - 15x2.

2)     x2 + 2x , x3 - 2x2, x2 - 4.

3)     a2 - 2ab - 3b2, a3b - 6a2b2 + 9ab3, ab2 + b3.

4)     12mn + 8m - 3n - 2, 48m2n - 3n + 32m2 - 26n2 - 5n - 6.

5)     5.8n2 - 10n - 3, 20n2 + 13n + 2, 10n2 - 11n - 6.

6)     m3 - 27n3, m2 - 9n2, m2 - 6mn + 9n2, m2 + 3mn + 9n2

7)     5m - mq + 2mn - pq + ppn + 5p

8)     24x2y2 + 16xy3z + 32x3my4 - 64zx3y5

9)     z2 - 2zb - 3b2, z3b - 6z2b2 + 9zb3, zb2 + b7.

10) a3 - 9a + 5a2 - 45, a4 + 2a3 - 15a2.

11) 11.18pn + 8p - 3n - 2, 32p2n - 3n + 32p2 - 2, 6n2 - 8n - 6

12) 12. x25 + 23x, x3 - 8x2, x2 - 4.

13) 13. x3 - 9x + 5x2 - 45, x4 + 2x3 - 15x2.

14) 14. x⁵ - x³ - 3·x² + 3    y     x³ + 5·x² - x - 5

15) 15. X^3 + 6X^2 - 63X + 108

Mínimo Común Múltiplo

El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.

El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo:

¿Qué es un "múltiplo"?

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1, 2, 3, 4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.

Aquí tienes ejemplos:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...

Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...

¿Qué es el mínimo común múltiplo?

Es simplemente el más pequeño de los múltiplos comunes. En el ejemplo anterior, el menor de los múltiplos comunes es 20, así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20.

Para obtener el MCM de dos o más polinomios procedemos de la siguiente manera:

         Paso 1: Si es posible, factorizamos cada uno de los polinomios originales.

         Paso 2: para encontrar el MCM, escribimos el producto de los factores comunes y no comunes de todos los polinomios con su mayor exponente.

Operaciones con teorema de residuo y factor

Utilice el teorema del residuo para hallar el residuo que se obtiene al dividir el polinomio dado en cada uno de los problemas 1 a 12 entre el binomio que le sigue.

1. x3 – 3x2 + 4x – 5x– 2
2. x3 + 5x2 – 7x + 3x – 1
3. x3 + 3x + 5, x + 1
4. x3 – 2x2 – 3x – 38x + 3
5. 2x3– 7x2 + 5x + 3x– 1
6. 3x3 + 4x2 - 11x - 13x - 2
7. 2x4 + 3x3 + 7x2 + 6x + 2x + 1
8. 3x4– 8x3– 9x– 7x - 3
9. -2x4 - 3x3 + 4x2 + 17x + 7, x - 2
10. x5 + x4 + x3 + x2 + x + 22x - 2
11. 2x5– 7x4 - 5x3 + 9x2 – 24x + 17x -4
12. 32x5 - 16x4 + 8x3 - 4x2 + 2x - 1x– 1/2
13. 2x3 + 3x2 – 6x + 1 x– 1
14. 3x3 – 9x2– 4x + 12x– 3
15. 5x4 + 8x3 + x2 + 2x + 4x + 1

JC: Ejercicios de Descomposición en factores de una diferencia de cuadrados.

1.- a² - b²

2.- x² - 4

3.- x² - 1

4.- 9 - y²

5.- 1 – 4n²

6.- (a+b)² - x²

7.- (x+y)² - (z+w)²

8.- (x- 2y)² - (a+b)²

9.- (a+1)² - 4a²

10.- (2ª – 3)² - (a- 5)²

11.- (2ª+3)² - (5ª – 1)²

12.- (a-b)² - (z+w)²

13.- (x-1)² - (n – 2)²

14.- (2x-z)² - (a+b)²

15.- 4a² - 81b²