Introduccion a nùmeros complejos

Los números complejos se caracterizan por tener una parte real “a” y otra imaginaria “b”. La parte imaginaria indica el número de veces que aparece el número imaginaio “i”:

El conjunto de los números complejos s denomina “C”.
“C” cumple los axiomas de cuerpo.
En “C” no se cumple la relación de orden definida para los números reales.
Dado un número complejo:

el número complejo conjugado de “z” es:

, y se cumple que:

Módulo o valor absoluto de un número compejo:

Podemos representar números complejos en una gráfica si ubicamos la parte real en el eje “x” y la parte imaginaria en el eje “y”, obteniéndose varias relaciones elementales:

La ecuación de Euler, además, implica que:

Esta ecuación es muy especial para los matemáticos más emotivos, ya que para un ángulo de π radianes implica que:

, y en resumen:

Esta ecuación es considerada una de las más bellas de la matemática, ya que implica a los dos números más basicos, que son el 1 y el 0, a los tres números especiales “π”, “e” e “i”, una operación tan elemental como es la suma y la igualdad.
Visto esto, un número complejo se puede expresar de varias formas:

Ejemplo :

Para calcular  ( Z1 - Z2 ) Z3 , en primer lugar se calcula la operacion del parentesis y acontinuacion se multiplica el resultados por Z3  :

( Z1 - Z2 ) Z3 = ( -3+4i - ( 5-2i ) 2/3 = -3-5+(4+2i) 2/3 =(-8+6i)2/3=-12+9i


Ejericicios:

Dados que :
 Z1 = -3+4i
Z2= 5-2i
Z3=2/3
Z4=7i



1- Z1 Z4 +Z3 Z4
2-Z1+Z4-5Z2
3-Z1+Z3
4-Z2-1
5-Z1Z2
6-(Z1+Z2)-1
7-Z1+Z3
8-Z2/Z1
9-Z1/2Z3+Z4

Ejemplos de operaciones con fracciones algebraicas

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Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones algebraicas con distinto denominador, se reducen a común denominador y, a continuación, se obtiene el nuevo numerador mediante la suma (o diferencia) de los numeradores obtenidos.

El denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Por último, se simplifica, si es posible, el resultado.

Así, para calcular:

x + 1 4 x - 8 - 2 x x 2 - 4

reducimos las fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo, y después restamos las fracciones algebraicas obtenidas.

Como 4x - 8 = 4 · (x - 2) y x² - 4 = (x + 2) · (x - 2),

obtenemos el m.c.m. ((4x - 8), (x² - 4)) = 4 · (x + 2) · (x - 2) = 4x² - 16.

Reducimos a común denominador y restamos los numeradores:

x + 1 4 x - 8 - 2 x x 2 - 4 = ( x + 1 ) · ( x + 2 ) 4 x 2 - 16 - 2 x · 4 4 x 2 - 16 = x 2 + 3 x + 2 4 x 2 -16 - 8 x 4 x 2 - 16 = x 2 - 5 x + 2 4 x 2 - 16

Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores.

P ( x ) Q ( x ) · R ( x ) S ( x ) = P ( x ) · R ( x ) Q ( x ) · S ( x )

Así, por ejemplo:

x + 1 4 x - 8 · 2 x x 2 - 4 = ( x + 1 ) · 2 x ( 4 x - 8 ) · ( x 2 - 4 ) = x 2 + x 2 x 3 - 4 x 2 - 8 x + 16

División de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica, cuyo numerador es el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor y cuyo denominador es el producto del denominador de la fracción dividendo por el numerador de la fracción divisor.

x + 1 4 x - 8 : 2 x x 2 - 4 = ( x + 1 ) · ( x 2 - 4 ) ( 4 x - 8 ) · 2 x = x 2 + 3 x + 2 8 x

Para dividir dos fracciones algebraicas también se puede multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.

P ( x ) Q ( x ) : R ( x ) S ( x ) = P ( x ) Q ( x ) · S ( x ) R ( x ) = P ( x ) · S ( x ) Q ( x ) · R ( x )

ejercicios de factor comun

1.-48x2-12x3-24x4=
2.-25b2+35b4-45b5=
3.-11ax-121a2x+33a2=
4.-9a5b-12a2b3+15ab2-18a3b4 =
5.-9x2+6x+3 =
6.-4x4-8x3+12x2 =
7.-6x2-6xy-6 =
8.-14x2y2-28x3+56x4 =
9.-34ax2+51a2y-68ay2 =
10.-55m2n3x+110m2n3x2-220m2y3 =
11.-25x7-10x5+15x3-5x2 =
12.-9a2-12ab+15a3b2-24ab3 =
13.-3a3b+6a3b2-5a4b3+8a5b4+4a6b5 =
14.-16x3y2-8x4y-24x2y-40x2y3 =
15.-18x5-30x4 =

Ejercicios con Radicales

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JC: Resumen de Descomposición en factores de una diferencia de cuadrados.

Descomposición de factores de una diferencia de cuadrados

Definición

Se conoce como diferencia de cuadrados a la expresión formada por el producto de una suma de dos términos y la diferencia de los mismos términos:

(x + y) (x – y) = x2 – y2

Método

Dada la diferencia de cuadrados, x2 – y2, se saca la raíz a los dos términos, considerando la raíz positiva  y se multiplica la suma de las dos raíces por la diferencia de las dos raíces.

Ejemplos:

factor comun

- Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

.ab+ac+ad=(b+c+d)

ax+bx+ay+by=ax+y+bx+y=(x+y)(a+b)     y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

5x2x-y+3xx-y+7(x-y)

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

(5x2+3x+7)

La respuesta es:

(5x2+3x+7)(x-y)

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

5a23a+b+3a+b

Se puede utilizar como:

              5a283a+b)+1(3a+b)

Entonces la respuesta es:

(3a+b)(5a2+1)

Caso II - Factor común

Factor común en un polinomio

Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad   distributiva.

ax+bx+cx=x(a+b+c)

Una raíz del polinomio será x = 0

Doble extracción de factor comúun

.x2-ax-bx+ab=xx-a-b(x-a)=(x-a)(x-b)

Ejemplos

1.-25x5-65x4+1415x2=

2.-25x2(x3-3x2+73)

3.-2xy-2x-3y+6=

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

Factor común (en aritmética)

Número entero que divide exactamente a dos o más números dados sin dejar un residuo.

Por ejemplo, tanto 3 como 6 son factores comunes de 6, 12 y 18. Ya que 6 es el número mayor que divide exactamente a los tres, se denomina máximo factor común (MFC).

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/factor_comun.html

http://www.rpdp.net/mathdictionary/spanish/vmd/full/c/commonfactorinarithmetic.htm

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/fcomun.htm

presentacion CUBO DE UN BINOMIO.....@teamteamteam

Binomio de Newton [Mathemagol]

La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.

Podemos observar que:

El número de términos es n+1.

Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.

En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b vanaumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.

En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Ejercicios del binomio de Newton

1. 

2.

Cálculo del término que ocupa el lugar k

Ejemplos

1.El término quinto del desarrollo de   es:

2.El término cuarto del desarrollo de   es:

3.Hallar el término octavo del desarrollo de